áp dụng cauchy cho 2 số dương

x +y >=2.căn(xy)

y+z >=2.căn(yz)

z+x>= 2.căn(zx)

cộng vế theo vế ta được

x+y+ z >= căn(xy) +căn (yz) + căn( zx) = 1

vì là bất đẳng thức đối xứng nên nó đạt được giá trị nhỏ nhất x = y = z = 1/3

nên phải áp dụng cauchy sao cho x = y = z = 1/3

áp dụng cauchy cho 2 số dương x^2/(x+y) và (x+y)/4 ta được

x^2/(x+y) + (x+y)/4 >= 2.căn(x^2 /4) = x

(phải áp dụng cô sy sao cho x = y = z = 1/3 tức là x^2/(x+y) = (x+y)/4 )

làm tương tự ta được

y^2/(y + z) + (y + z)/4 >= y

z^2/(z+x) + (z+x)/4 >= z

cộng vế theo vế ta được

x^2/(x+y) + y^2/(y+z) + z^2/(z+x) + (x+y+z)/2 >= x +y + z

P >= (x+y+z)/2

mà x +y +z >=1

=> P >= 1/2

dấu = x = y = z = 1/3